篇1：奥数难题系列优化

　　要想了解任何机械的工作原理，就必须先了解各种几何形体在运动时所产生的互动效果。传统几何学比较着重于静态的形状，要探讨空间概念就需要有在 心里想象动态运动过程的能力。获得这种能力最好的方法，就是制作出可以操作的模型，并且用这些模型做实验。所有的机械都会有输入与输出，而且许多机械的输 入和输出都是同一种运动(例如两者都是转动)，因此用倍数来作比较是很有意义的。所以这个题目基本上很实际，而且取得所需要的器材并不困难，即使用棉线轴 取代滑轮或卷筒也可以完成大部分题目。

　　图1中当菱形连杆作直线移动时，P点的路径是以O为圆心，OP为半径的圆弧，Q和R点的路径则呈椭圆形，可以看成是将圆形拉长3倍和5倍的椭圆形。

　　许多种连杆都可以将直线运动放大3倍，如图2所示。有些是笔者做实验时发现的。第一种方式是根据放大器而来，其他的方式可以视作是第一种方式的变形。

　　做出这些连杆，并且确定它们都能产生3倍的效果。

　　魔术师的“棉线工厂”有许多种做法，不过主要零件应该是两个卷筒。其中一个缠绕进入盒子的棉线，另一个则缠绕出去的棉线。只要用两个不同大小的卷筒和一支铅笔作轴(图3)，再发挥些创造力，你就可以用鞋盒好好表演了。

　　分析语解答

　　早在现代的电子计算机发明之前，工程师就已经设计出好几种方法，用机械的方式使一个位移乘上一个固定的倍数。在这个题目中，我们介绍在设计中所用到的乘以一个固定倍数的想法，并鼓励大家更进一步运用这个想法，将数字与空间的概念结合起来。

　　首先考虑由直径12cm与直径4cm的两个滑轮，以皮带相连所组成的系统(图1)。直径12cm的滑轮每转1圈，直径4cm 的滑轮就会转3圈，而且小滑轮的轮轴B的转动频率永远是大滑轮轮轴A的3倍。

　　这种机制可以在某些缝纫机、洗衣机或是车床上看到。

　　自 行车上的链轮和链条也是以相同的方式工作的。有一种竞赛用自行车的链轮有42齿，在变速装置上有一个相当于高速档的飞轮，则只有14齿，因此踏板每转1 圈，后轮就能转3圈。如果少了这种简单的机制，自行车选手即使踏得飞快，也只能缓缓前进，或者只好改骑过去那种前轮非常大的老式自行车。

　　齿轮传动也是利用相同的原理，只要使第一个齿轮的齿数是第二个齿轮齿数的3倍，就可以得到3倍的传动效果。观察打蛋器和手动钻子，计算齿轮的齿数并找出其倍数关系。钓鱼用的卷线器也是很好的例子，由卷线轴与把手旋转圈数的比，就可以知道它的倍数关系是多少(图 2)。

　　直线运动也可以按比例放大或缩小，其中一种方法是要结合旋转的卷筒机制。如果把前面所讨论的两个滑轮都固定在卷筒上，如图3所示，那么A点的绳子移动d的距离时，B点的绳子会移动3d，如此就能使直线运动产生3倍的效果。

　　用相同大小的滑轮，但使第二个卷筒的直径为第一个卷筒直径的3倍，也可以达到相同的效果。或者更简单地，把两个不同直径的卷筒安装在同一个轴上(图4)。

　　要使直线运动产生倍数效果，最常利用的就是滑轮组。图5所示为一个能产生3倍效果的装置。当位于A点的绳子被向下拉 1m时，绕在两个滑轮组上的3条垂直绳子都会延长1m，而把位于B点的绳子往上拉3m。

　　也可以利用杠杆产生3倍的效果，这在只需小量移动的场合应用得相当广泛，例如汽车的手刹车，以及离合器刹车和油门的踏板。图6 和图7中B点移动的距离都是A点的3倍。

　　近年来应用范围最广的应该算是液压撞头。它的基本原理就是安置在汽缸中的活塞，因受到液体的推挤压力而作直线运动。大多数的交通工具都利用到这种液压系统，包括汽车、卡车以及喷气式飞机。

　　图 8是两个活塞分别在以小管子相连的两个汽缸中滑动的情形。阴影部分代表汽缸以及管内的液体。由于液体的体积是固定的，因此当活塞A向右推挤时，被挤出来的 液体会进入较小的汽缸而将活塞B推向右。如果将活塞A的截面积制作成活塞B的3倍，那么小活塞的移动距离就是大活塞的3倍，因为大汽缸中减少的液体量，必 须与小气缸中增加的液体量相等，以达到平衡。

　　另一种利用机械方式来产生倍数效果的有趣的方法，就是利用与屈伸式夹钳和晾衣架没什么不同的菱形连杆(图9)。连杆固定于O点，当A点往右移动而远离O点时，3个菱形也都同时扩大，并保持O、A、B在一直线上，因此OB＝3OA。

　　用硬纸板制作这个连杆，并研究当A 点远离O点作直线运动时，P、Q和R的移动轨迹是怎样的。

　　最后还有一种较为原始的机制——楔子，也可以产生3倍的效果。图10中的两个楔子中间有滚轮，由于楔子的斜率是1/3，因此如果高度改变了h单位，水平方向就会有3h单位的移动。研究一下日常生活中，如自行车、缝纫机、钟、割草机、汽车、钻子等器械所应用的倍数效果。

　　为魔术师设计一个“棉线工厂”，使进入工厂(一个盒子)的棉线从另一端出来时长度增加 2倍(图 11)。

　　你还可以在棉线上打结或着色作标记，以便能清楚地看出棉线出来时长度已增加2倍。为了要达到最好的表演效果，避免其中的机制被识破，棉线的出入口必须位于正对面。

篇2：奥数难题系列优化

　　这是与估算有关的游戏，虽然要花些时间做事前准备，但从中获得的乐趣一定能使你觉得十分值得。

　　玩这个游戏需要一些卡片，每张卡片代表高尔夫球场上的一个洞。卡片上有一道题目，必须估算出合乎条件范围的数字。题目的难易应恰到好处，大约要做几次估算才能得出够准确的答案都应预作安排。实际估算的次数就等于在这个洞所得到的杆数。虽然有可能一杆进洞，但概率很小，除非问题太简单。上面是一张卡片的例子，以下是彼得和苏珊玩游戏时留下的记录：

　　彼得：

　　B洞56.7＜b2＜57.7

　　4杆

　　苏珊：

　　B洞56.7＜b2＜57.7

　　3杆

　　从两人的第一次估算可以看出，他们都是由九九乘法表的72＝49与82＝64判断b必定是在7和8之间，因此两人第一次的估计值都是

　　因此在

　　他们都发现b就在这两次估算的估计值之间，于是彼得在下次估算时，选择这两次估算的中间值；苏珊则注意到7.52比7.72更接近b，因此，她下一杆就进洞了。

　　彼得用前两次估算的中间值的做法，使他能很平稳地得分，但是苏珊的深思熟虑却使她赢了这一洞！

　　下面是几个其他的例子。

　　当一组卡片都准备好了之后，你就有了各种情况的“球场”。

　　答案与分析：

　　这个游戏的关键在于设计出一套适 当的题目卡。设计时，必须先了解参与游戏者的程度，这样才能使题目难易适中。

　　然而，由于可以使用计算器，因此即使是程度有相当差异的人也可以一起玩，只要像玩高尔夫球一样，程度好的人先让几杆就可以了。

　　要想制作出许多套不同的题目卡，的确是个大工程，但是在一张纸上设计一个九洞的球场应该不会太困难。

　　最好是能让玩的人记录自己的估算过程。分组比赛也是玩这个游戏的另一种方式。

篇3：奥数难题系列优化

　　虽然这个题目的内容与化学有关，不过也牵涉到空间的概念，而且与建立一个只有4-结点和1-结点的网络有密切的关系。碳氢化合物的结构特别有系 统，特别是烷烃分子的形式简单，比较年幼的学生应该也可以了解。如果能从化学老师那里借到分子的组合模型，那么就可以进行三维空间的分子结构研究，但作为 拓扑学的练习，所需要的只是纸张、铅笔和一些对于空间的思考。

　　丁烷的结构如图1，分子式为C4H10。

　　辛烷的分子式是C8H18。

　　更高级的烷烃为C17H36、C18H38、C19H40、C20H42。

　　烷烃的通式是CnH2n+2。

　　C6H14其他可能的结构如图2所示。

　　不论碳原子链是否有支链，这一类分子中氢原子的数目永远是碳原子数目的2倍再加2。为什么？由于这个缘故，当你在寻找C7H16可能的结构时，只需要注意那7个碳原子不同的排列方式就行了。9种排列方式如图3。

　　如果把碳原子以双键或三键互相结合，以及形成环状的情况都加以考虑，则即使只用4个碳原子和数目不一的氢原子，就能形成非常多的不同分子，图4是31种 组合方式。其中只画出碳原子的结合情形，图中每个碳原子除了与其他碳原子相连之外，其余的“手”都是与氢原子相连，使4只“手”都不空闲。

　　请注意，虽然我们能画出这些分子，但其中有些可能实际上并不存在。

　　分析与解答

　　碳氢化合物是一种完全由碳原子和氢原子所组成的物质，如石油、石蜡等。科学家在研究过碳和氢的结合方式后发现，碳原子就像是有4只“手”，而氢原子则只 有1只“手”(图1)。形成分子时，碳原子和氢原子会彼此“手牵手”结合在一起，而且不会留下任何空的“手”(图1)。

　　碳氢化合物中最简单的一族是“烷烃”，由氢原子与单链的碳原子组成，因此两个原子之间互握的“手”不会超过一只(即为单键)。烷烃族中最简单的3种分子结构如图2所示。它们的分子式(表示一个分子中所含有的碳原子和氢原子数)分别如下：

　　甲烷：CH4 乙烷：C2H6 丙烷：C3H8

　　甲烷、乙烷、丙烷以及丁烷都是气体。请画出丁烷的结构，并写出其分子式。

　　辛烷是由氢原子和排成直链的8个碳原子所组成，为液体，也是石油的重要成分。它的分子式是怎样的？

　　在烷烃中，排成直链的碳原子数在16个以上的都是蜡，它们也是蜡烛的基本成分。请写出碳原子数为17、18、19及20的烷烃的分子式，并依此推出碳原子数为 n的烷烃的分子式。

　　只要把烷烃的碳原子链加上支链，就能变化出非常多的不同分子，而且有许多分子虽然结构不同，但却有相同的分子式。例如，C13H28就有超过800种不同的结构式。看看你是否能找出5种结构不同，但分子式同为C6H14的分子。图3为其中之一，供你参考。

　　C7H16则有9种不同的分子结构。请找出它们，但须注意不要把相同的结构误认为不同；图4和图5中的碳原子排列方式，乍看似乎不同，但其实是相同的。

　　当碳原子以2只或3只“手”与其他碳原子相连时，会产生更复杂的分子。气态的乙烯(C2H4)和气态的乙炔(C2H2)就是以这种方式结合的碳氢化合物(图6和图7)。

　　当碳氢化合物的碳原子不局限于链状排列，而形成环状排列时，由碳原子和氢原子所组成的化合物，变化更为多样，也更为复杂。两种环状化合物如图8和图9所示。

　　研究由4个碳原子可以组成多少不同的碳氢化合物，并写出它们的结构式。

篇4：奥数难题系列优化

　　三角形的主要特性就是具有刚性(图1)，这种特性经常被应用在静态的结构物上，如木制的屋顶结构。

　　不 过，只要仔细观察，你也可以发现，设计师和工程师也在利用一边长度可以改变的三角形结构。有好几种汽车千斤顶的设计就应用到这种观念。图2是由4根杆子组 成的连杆ABCD，形状呈菱形，被一个螺旋装置形成的对角线BD分割成两个三角形。螺旋装置顺时钟方向旋转时，B点和D点会逐渐靠近，使三角形BCD和 BAD的底边变短，两个三角形的高因而变大，从而顶起汽车。

　　改变BD的长度会如何影响C点的高度？用千斤顶或是硬纸板所做的模型研究这个问题。

　　我们通常利用三角形底边来改变结构中某个角的角度，例如躺椅或是窗户开关的固定杆(图3)，就是利用三角形一边上的孔洞或凹槽来改变长度的。

　　摩 托车后轮或是汽车的悬吊系统经常会用到三角形，其中一边为弹簧所取代，以吸收路面的震动；脚踏打气筒的设计也是利用这个原理(图3)。汽车上的刹车踏板也 是三角形的一边，就像脚踏打气筒一样，踏板被踩下去时，会推挤汽缸的活塞，由于汽缸中充满机油，所产生的压力会传送到制动器。

　　近年来有一种机械结构的应用非常广泛，就是把液压撞头(hydraulic ram)组合成可变底边的三角形(图4)。撞头是由充满油料的汽缸与活塞组成的。引擎的动力把油料自活塞的一边挤向另一边，推动活塞在汽缸中移动，使三角形的底边伸长或缩短。

　　现在的油压泵能在活塞两端产生相当大的压力差，因此在三角形改变形状时，撞头能产生很大的力量。许多土木工程器械、吊车、农业机械、自动化机械以及现代工厂中的机器人等等，在设计上都应用到这种机制。你还能找到哪些其他的例子？请用硬纸板做出模型。

 

篇5：奥数难题系列优化

　　(1)100kg的羽毛和100kg的煤炭，哪一个比较重？

　　(2)地上有一个长6m、宽2m、深6m的大洞，请问洞内泥土的体积是多少？

　 　(3)有一艘船在港口外下锚停泊。为了方便参观的人上下船，船舷外吊挂着一条绳梯。绳梯每级的距离是30cm。在上午10时，绳梯有12级露在水面上。 潮水上涨的速度是每小时60cm，因此市长把登船参观的时间延迟到下午1时，她认为这样就可以少爬几级绳梯。假设潮水上涨的速度保持一定，而且市长也准时 到达，请问她到底需要爬几级绳梯？

　　(4)一个羽毛球拍和一个球要128元，球拍比球贵120元，那么一个球要多少钱？

　　(5)有位农夫的玉米田里野兔肆虐。一天晚上，他带着猎枪去田里捕杀野兔。到了田里，他发现有13只野兔正在啃食他的玉米，于是开了一枪，一只野兔中弹身亡。请问田里还有几只野兔？

　　如果你从来没有见过类似的题目，很可能会被骗！

　　(1)都是100kg，所以一样重。

　　(2)“洞”里是没有泥土的。

　　(3)船也会随着涨潮而上浮，因此市长还是得爬12级绳梯。

　　(4)是4元，不是8元。

　　(5)一只野兔，死掉的那一只。

篇6：奥数难题系列优化

　　有位数学老师为了让班上同学练习使用计算器，出了一道联立方程要大家求解。

　　35.26x+14.95y＝28.35

　　187.3x+79.43y＝83.29

　　他自己并没有亲自计算过这道题目，因为他是从参考书上抄下来的，因此他已经知道答案了。但他在抄题时看错了一个系数，把书上的14.96写成14.95。在讲课时，他发现了这个错误，但是心想反正只相差这么一点点，应该没什么影响。

　　然而，当学生交出答案时，他发现每个人的答案都一样，但与书上的标准答案却有很大的差距。这时他才开始针对两种情况，亲自求出解答。他会发现什么？书上的答案错了吗？学生的答案错了吗？

　　分析与解答

　　这就是数学上所谓的“病态方程”(ill-conditioned equation)。如果照老师所出的题目，答案是：

　　x＝1 776 y＝4186

　　但若依照参考书上的原题，答案应是：

　　x＝-770 y＝1816

　　把两个方程式看成是两条直线，则两者的斜率非常接近：-2.358 5和-2.358 1，只差0.000 4。因此其中一条直线斜率的微小变化，会对两者的交点产生重大影响。